Problemas con Inecuaciones

Inecuaciones Sengundo Grado

TEOREMA DE PITÁGORAS

Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.

En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos.

BC =  cateto   =  a

CA =  cateto   =  b                         

AB =  hipotenusa  =  c

         La expresión matemática que representa este Teorema es:

hipotenusa ²   =   cateto ²    +   cateto ²

        c²    =     a²    +    b²

Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Una forma muy sencilla de explicar y de visualizar el Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/PitagorasTeorema.htm

Sistema de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales deanálisis numérico.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

FACTOREO

¿Qué es factorizar o factorear un polinomio?

Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x² + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).


¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?

Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.


¿Para qué sirve factorizar un polinomio?

Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.


¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?

Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:

Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):

x² + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)     

Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):

(x + 2).(x + 1) =  x² + x  + 2x + 2 = x² + 3x + 2    


En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma). 

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/factoreo/factoreo.htm

Sistemas de Inecuaciones Lineales

Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. El conjunto formado por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita se llama sistema de inecuaciones lineales con una incógnita. La solución de un sistema de este tipo es un conjunto de números reales que satisfagan simultáneamente todas y cada una de las desigualdades. La solución suele expresarse en forma de intervalo llevando cuidado de expresar correctamente si es abierto o cerrado según el signo de desigualdad utilizado. Ejemplo:Resuelve el sistema    De la primera inecuación se obtiene que: De la segunda: De la tercera: La solución del sistema es la intersección de los tres intervalos obtenidos:    ya que no existe ningún número real que pueda ser al mismo tiempo menor o igual que 1, mayor que 2 y mayor que 4. Veámoslo en el siguiente dibujo, donde aparece pintado en rojo la solución de la 1*, en verde la de la 2* y en azul la de la 3*:

Inecuaciones y sistemas lineales con dos incógnitas

Una inecuación lineal con dos incógnitas es cualquier desigualdad que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden expresar de una de las formas siguientes:

ax+by+c > 0;        ax+by+c < 0;          ax+by+c £ 0       ó        ax+by+c ³ 0

con a, b y c reales y a¹0, b¹0

La solución general está formada por el conjunto de todos los pares (s₁,s₂) que verifican la inecuación.

Gráficamente, la solución, son los puntos del plano que tienen por coordenadas (s₁,s₂).

Para resolver esta inecuación recurrimos a la ecuación ax+by+c=0, que es la ecuación de una recta y que, para cada uno de sus puntos, tiene por ordenada.

La inecuación anterior, mediante transformaciones de equivalencia, se puede expresar, dependiendo del signo de relación, como , es decir, la verifican todos los puntos que tiene una ordenada(y) menor (o mayor o igual, según el signo de relación) que la ordenada de los puntos de la recta.
Por lo tanto, la solución general de una inecuación lineal con dos incógnitas es un semiplano, del que la recta anterior es su frontera. 

SISTEMAS
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más de estas inecuaciones.

El par (s₁,s₂) es solución del sistema si satisface simultáneamente todas las inecuaciones.
A la región solución, si existe, se le llama también región factible.  Si es vacía, el sistema es incompatible.
La resolución de un sistema de inecuaciones se realiza encontrando la región del plano intersección de los semiplanos que son solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema:

• Consideremos el sistema formado por dos inecuaciones lineales con dos incógnitas. Representamos, en el plano cartesiano, los semiplanos solución de ambas inecuaciones. 
• Las soluciones del sistema son las coordenadas de los puntos que pertenecen a la vez a los dos semiplanos solución.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/inecuaciones_dga/inecuaciones/inecuacion3.htm